درس الإشتقاق وتطبيقاته,رتابة دالة والإشتقاق
Webإذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق، فإنها تكون متصلة. وتنص عبارة المعاكس الإيجابي (والمكافئة منطقيًّا وبالتالي صحيحة أيضًا) على أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند النقاط حيث تكون غير متصلة Webافتح القائمة الرئيسية. الصفحة الرئيسية; عشوائي; دخول; الإعدادات; تبرع Webإذا كانت قابلة للاشتقاق في و قابلة للاشتقاق في () ، فإن الدالة قابلة للاشتقاق في لازمة إذا كانت f {\displaystyle f} دالة قابلة للاشتقاق على مجال I {\displaystyle I} و g {\displaystyle g} دالة قابلة للاشتقاق على مجال J Webقابلية الدالة للاشتقاق. في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت دالة قابلة للاشتقاق. وسنبحث العلاقة بين قابلية الدالة للاشتقاق واتصالها. عملية إيجاد المشتقة تسمى الاشتقاق Webنقول أن f متصلة في النقطة a إذا وفقط إذا كان lim x → af(x) = f(a). تمرين: بين أن f قابلة للإشتقاق في a f متصلة في a. بين أن العكس غير صحيح. رسم لدالة ويرستراس على المجال [2, 2-] متصلة على R وغير قابلة للإشتقاق في أي نقطة. خلاصة: f قابلة ... read more
C f مقعر على المجال 1 , 2. C f محدب على المجال 1 2 , 1. Basculer la navigation Retour. Mathématiques Accueil. Connexion عربية English. Retour au Cours Retour à la section Signaler une erreur 10 octobre الرياضيات: الثانية باك علوم رياضية أ الاشتقاق ودراسة الدوال أسئلة الإختيار من متعدد QCM : الاشتقاق ودراسة الدوال. السؤال 1. السؤال 2. السؤال 3. السؤال 4. السؤال 5. لتكن f دالة متصلة وقابلة للاشتقاق على المجال [ - 1 , 2 ] ، جدول تغيراتها أسفله حدد من بين العبارات التالية، العبارة أو العبارات الصحيحة. لا يمكن معرفة القيمة الدنيوية للدالة f. السؤال 6. لتكن f دالة متصلة وقابلة للاشتقاق على مجال، و C f تمثيلها المبياني أسفله حدد C f ' التمثيل المبياني لمشتقة الدالة f. السؤال 7. السؤال 8. السؤال 9. g دالة زوجية. يمكن أيضًا أن تسمي الدالة f «دالة خطية محليًا» عند x 0 ، حيث يمكن تقريبها جيدًا ب دالة خطية بالقرب من هذه النقطة.
إذا كانت f تقبل الاشتقاق عند النقطة x 0 ، فإن الدالة f يجب أن تكون أيضًا مستمرة عند x 0. على وجه الخصوص، يجب أن تكون أي دالة مختلفة مستمرة في كل نقطة من مجالها. لا يحمل العكس: ليست كل دالة مستمرة قابلة للاشتقاق. على سبيل المثال، قد تكون الدالة ذات الانحناء أو الانحدار أو المماس العمودي مستمرة، لكنها تفشل في أن تكون قابلة للتفاضل في موقع الشذوذ. معظم الدوال التي تظهر في التمارين لها مشتقات في جميع النقاط أو في كل نقطة تقريبًا. ومع ذلك، تنص نتيجة ستيفن باناخ على أن مجموعة الدوال التي لها مشتق في نقطة ما هي مجموعة ضئيلة في فضاء جميع الدوال المستمرة.
أول مثال معروف لدالة مستمرة في كل مكان ولكن لا يمكن اشتقاقها في أي مكان هي دالة فايرشتراس. انتقل إلى المحتوى الموسوعة. الصفحة الرئيسية الأحداث الجارية أحدث التغييرات أحدث التغييرات الأساسية. المواضيع أبجدي بوابات مقالة عشوائية تصفح من غير إنترنت. تواصل مع ويكيبيديا مساعدة الميدان تبرع. ماذا يصل هنا تغييرات ذات علاقة رفع ملف الصفحات الخاصة وصلة دائمة معلومات الصفحة استشهد بهذه الصفحة عنصر ويكي بيانات. إنشاء كتاب تحميل PDF نسخة للطباعة. في مشاريع أخرى. ويكي الجامعة. في نسخة ويكيبيديا هذه، وصلات اللغات موجودة في الزاوية العليا اليسرى بجانب العنوان.
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت دالة قابلة للاشتقاق، ونبحث العلاقة بين قابلية الدالة للاشتقاق واتصالها. في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت دالة قابلة للاشتقاق. وسنبحث العلاقة بين قابلية الدالة للاشتقاق واتصالها. عملية إيجاد المشتقة تسمى الاشتقاق. بما أن المشتقات هي إحدى المكونات الأساسية في حساب التفاضل والتكامل، إذن فالاشتقاق أداة مهمة للغاية أيضًا. وبناء على ذلك فإن القدرة على تحديد قابلية دالة ما للاشتقاق من عدمها يمكن أن تفيدنا كثيرًا. نتذكر أن المشتقة تقيس المعدل الذي تتغير عنده القيمة المخرجة لدالة ما ﺩ بالنسبة لتغير في قيمتها المدخلة ﺱ.
بطريقة منهجية يمكن تعريف المشتقة باستخدام النهايات. مشتقة دالة ما ﺩ عند النقطة حيث ﺱ يساوي ﺱ صفر تعرف بأنها النهاية عندما يقترب ﻕ من صفر لـ ﺩﺱ صفر زائد ﻕ ناقص ﺩﺱ صفر الكل مقسوم على ﻕ. ربما يساعدك التفكير في النصف السفلي من هذا الكسر باعتباره ﺱ صفر زائد ﻕ ناقص ﺱ صفر، وهو ما يساوي بالطبع ﻕ. بهذه الطريقة، نرى أن الصيغة تشبه كثيرًا صيغة التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ، حيث تصبح قيم التغير متناهية في الصغر. وهناك تعريف مكافئ للمشتقة، وهو النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺱ صفر لـ ﺩﺱ ناقص ﺩﺱ صفر الكل مقسوم على ﺱ ناقص ﺱ صفر. كلا التعريفين من الشائع استخدامه، ولكن لتحقيق الغرض من هذا الفيديو سنستخدم التعريف الأول بصورة رئيسية.
النقطة الأساسية التي سنرجع إليها طوال هذا الفيديو هي أن المشتقة لا تكون موجودة إلا إذا وجدت النهاية التي تعرفها. إذا كانت النهاية، وبالتالي المشتقة، موجودة بالفعل عند نقطة، نقول إن الدالة قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة. قبل المتابعة، يجب أن نعرف أنه يوجد صورتان مختلفتان لترميز المشتقات. إذا قلنا إن ﺹ يساوي الدالة ﺩﺱ، فإن المشتقة يمكن التعبير عنها كما يلي. الطريقة الأولى هي ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهي ما يسمى بترميز ليبنز. ويستخدم هذا الترميز قيم التغير المتناهية الصغر التي نراها هنا؛ ﺩﺹ وﺩﺱ. الطريقة الثانية هي ﺩ شرطة لـ ﺱ. وتسمى ترميز لاجرانج. والترميزان من الشائع للغاية استخدامهما. وستراهما في هذا الفيديو. بالعودة إلى النظرية، إذا تخيلنا أن ﺩﺱ منحنى، فإن مشتقة ﺩﺱ ستمثل خط مماس لذلك المنحنى. لذا سيكون من المنطقي أنه إذا لم نتمكن من تعريف خط مماس المنحنى، إذن فالمشتقة غير موجودة. رؤية التمثيل البياني لدالة ما، تعطينا فهمًا بصريًا لحالات قابلية الدالة أو عدم قابليتها للاشتقاق، كما سنرى في المثال التالي.
يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة ﺩ. ماذا يمكن أن نقول عن قابلية ﺩ للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب أربعة؟ لدينا هنا تمثيل بياني معرف على الفترة من سالب سبعة إلى سالب واحد. وخلال هذه الفترة، نرى أن المنحنى أملس عند جميع النقاط، ما عدا النقطة التي عندها ﺱ يساوي سالب أربعة. عند هذه النقطة التي إحداثياها سالب أربعة، وخمسة، لدينا ركن حاد. وهذا يعني أن ميل المماس، على يسار ﺱ يساوي سالب أربعة مباشرة، سيكون مختلفًا عن ميل المماس على يمين ﺱ يساوي سالب أربعة مباشرة. ويمكننا الذهاب لأبعد من ذلك بالقول إن أحد الميلين سيكون موجبًا والآخر سيكون سالبًا.
وبما أن لدينا مماسين مختلفين على الجانبين، فلن نتمكن من تعريف خط مماس عند ﺱ يساوي سالب أربعة. وبالتالي لن نتمكن أيضًا من تعريف المشتقة. إذا كنا سنتخيل التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ، المشتقة الأولى، فمن المتوقع أن نرى تغيرًا حادًا في قيمة ﺹ عند ﺱ يساوي سالب أربعة. بناء على ملاحظاتنا، نستنتج أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب أربعة لأن معدل تغير الدالة مختلف على جانبي هذه النقطة. وبهذه العبارة نكون قد أجبنا عن السؤال. من الجدير بالملاحظة هنا أنه كان بإمكاننا تقديم برهان أكثر دقة بناء على النهايات التي تعرف المشتقة. ولكن هذا المثال يثبت أنه يمكننا أحيانًا أن نحدد بسرعة قابلية دالة للاشتقاق بناء على تمثيلها البياني.
إلى جانب الركن الحاد الذي رأيناه في المثال السابق، هناك الكثير من الأسباب المختلفة التي تجعل دالة ﺩ غير قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة حيث ﺱ يساوي ﺱ صفر. ويمكن فهم جميع هذه الحالات بالرجوع إلى تعريف المشتقة والتفكير في حالات وجود أو عدم وجود هذه النهاية. رسمنا هنا عددًا من التمثيلات البيانية وسنستعرض دلالات كل منها تباعًا. في أول حالتين، لدينا مثال لعدم الاتصال ومثال لركن. وفي هاتين الحالتين، ستختلف النهاية من الجهة اليمنى عن النهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﻕ من الصفر. وبما أنهما مختلفتان، نستنتج من ذلك أن النهاية العادية التي تعرف المشتقة غير موجودة. وبالتالي، لن تكون الدالتان قابلتين للاشتقاق عند ﺱ صفر.
في الحالتين التاليتين، لدينا نتوء وخط مماس رأسي. ونعرف أنه، في التمثيل البياني، الخطوط الرأسية أو الخطوط التي تميل إلى الاتجاه الرأسي ميلها يساوي موجب أو سالب ما لا نهاية. وهذا يعني أن النهايتين من الجهتين اليسرى واليمنى عندما يقترب ﻕ من الصفر ستساويان أيضًا موجب أو سالب ما لا نهاية. في حالة النتوء، ستختلف النهاية من الجهة اليسرى عن النهاية من الجهة اليمنى، حيث تساويان ما لا نهاية ولكن بإشارتين متعاكستين، بينما في حالة خط المماس الرأسي، فستتفق النهايتان. نعرف بالفعل السبب وراء اختلاف النهايتين على الجانبين. ومع ذلك، حتى لو كانت النهايتان متفقتين، وقيمة كل منهما مثلًا ما لا نهاية، وكانت النهاية العادية تساوي أيضًا موجب ما لا نهاية. فستظل هذه طريقة أخرى للتعبير عن عدم وجود النهاية، لأن ما لا نهاية ليس عددًا بل مفهوم. وأخيرًا، في حالة السلوك المتذبذب، نلاحظ زيادة التذبذبات أكثر فأكثر عندما تقترب قيمة ﺱ من ﺱ صفر. بهذا يكون من الواضح أيضًا أن ميل التمثيل البياني الذي يمثل المشتقة يزداد أيضًا تذبذبه بسرعة أكبر فأكبر عندما تقترب قيمة ﺱ من ﺱ صفر أو عندما يقترب ﻕ من صفر.
وهذا يعني أنه من غير المنطقي تعيين قيمة للنهاية عندما يقترب ﻕ من الصفر. لذا نقول إن النهاية غير موجودة. في هذه الحالات كلها، النهاية غير موجودة. ومن ثم فالمشتقة غير موجودة. ومن ثم يمكننا القول إن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ صفر. إلى جانب إيجاد قيمة نهاية، يوجد أيضًا عدد من الأدوات الأخرى التي يمكن أن تساعدنا عند اشتقاق دالة ما. ومن أمثلة ذلك قاعدة القوى، التي تنص على أنه إذا كانت دالة ما ﺩﺱ على الصورة ﺱ أس ﻥ، فإن مشتقة هذه الدالة ستساوي ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نلاحظ هنا أن الخطوات تبدأ بالضرب في القوة التي كان ﺱ مرفوعًا لها. وبعد ذلك نقلل هذه القوة بمقدار واحد. هيا نلق نظرة على أحد الأمثلة التي تستخدم قاعدة القوى. بالنسبة للجزء أ ، يمكننا على الفور أن نتذكر أن الجذر التكعيبي لأي عدد حقيقي معرف على مجموعة الأعداد الحقيقية. أما إذا كان لدينا جذر تربيعي، فسنعرف أن هذه العبارة لن تكون صحيحة، لأن الجذر التربيعي للأعداد السالبة غير معرف على مجموعة الأعداد الحقيقية.
ومع ذلك ففي هذه الحالة، يمكننا الإجابة عن الجزء أ بطريقة مباشرة تمامًا بأن نقول إن مجال ﺩ هو ﺡ، مجموعة الأعداد الحقيقية. ننتقل إلى الجزء ب ، إيجاد مشتقة ﺩ. إحدى الأدوات التي يمكننا استخدامها هي قاعدة القوى. تنص هذه القاعدة على أنه لدالة ما ﺩﺱ على الصورة ﺱ أس ﻥ، فإن مشتقة هذه الدالة ستساوي ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. لتطبيق هذه القاعدة على السؤال، سيساعدنا أن نعبر عن الجذر التكعيبي لـ ﺱ بالصورة ﺱ أس واحد على ثلاثة. يمكننا بعد ذلك تطبيق قاعدة القوى، بضرب ﺱ في واحد على ثلاثة، وهو القوة، ثم طرح واحد من القوة وهو ما يعطينا سالب اثنين على ثلاثة. وهناك طريقة مكافئة للتعبير عن ذلك وهي واحد على ثلاثة في الجذر التكعيبي لـ ﺱ تربيع.
وبهذا نكون طبقنا قاعدة القوى بنجاح. وحللنا الجزء ب بإيجاد مقدار يعبر عن مشتقة الدالة ﺩ. وأخيرًا، الجزء ج ، إيجاد مجال هذه المشتقة، سنستخدم المقدار الذي أوجدناه للتو. في هذا الجزء من السؤال، يجب علينا التفكير في جميع النقاط التي تكون ﺩ شرطة ﺱ غير معرفة عندها. بما أن لدينا ﺩ شرطة ﺱ على صورة دالة كسرية، يمكننا القول إنها ستكون غير معرفة إذا كان مقام الدالة الكسرية يساوي صفرًا. لذا نحتاج لإيجاد قيمة ﺱ التي تجعل ثلاثة في الجذر التكعيبي لـ ﺱ تربيع يساوي صفرًا. والقيمة الوحيدة التي تحقق ذلك هي ﺱ يساوي صفرًا. بما أن ﺱ يساوي صفرًا هي النقطة الوحيدة التي عندها تكون الدالة ﺩ شرطة ﺱ غير معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية، يمكننا استنتاج ما يلي. مجال مشتقة الدالة، ﺩ شرطة، هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص المجموعة التي تحتوي الصفر. ويمكننا ملاحظة حقيقة أن مجال دالة ما ﺩ ليس من الضروري أن يكون هو نفسه مجال مشتقتها.
في المثال الذي رأيناه، بدلًا من حساب قيمة النهاية لإيجاد المشتقة، استخدمنا قاعدة القوى لتسريع العملية. ولكن في بعض الأمثلة قد لا توفر لنا قاعدة القوى فهمًا كاملًا للدالة. لنلق نظرة على أحد هذه الأمثلة لتوضيح ذلك. افترض أن الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ستة ﺱ ناقص أربعة، لكل ﺱ أقل من أو يساوي سالب واحد، وتساوي ثلاثة ﺱ تربيع لكل ﺱ أكبر من سالب واحد. ماذا يمكن أن يقال عن قابلية الدالة ﺩ للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد؟ لدينا هنا دالة متعددة التعريف مكونة من دالتين فرعيتين، إحداهما ذات حدين والأخرى وحيدة الحد. كلتا هاتين الدالتين الفرعيتين مستقلة أو تعرف بأنها دالة ملساء ومعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. في الحقيقة، يمكننا القول إن جميع الدوال الكثيرات الحدود ملساء، وهو ما يعني أنها قابلة للاشتقاق على مجموعة الأعداد الحقيقية. ولكن في الدوال المتعددة التعريف، يجب أن نبحث عن النقطة التي تلتقي عندها الدالتان الفرعيتان.
وهي في هذه الحالة ﺱ يساوي سالب واحد. لكي نبدأ العملية، دعونا أولًا نشتق الدالتين الفرعيتين باستخدام قاعدة القوى. مشتقة سالب ستة ﺱ ناقص أربعة تساوي سالب ستة في ﺱ أس صفر، وهو ما يساوي، بالطبع، سالب ستة فحسب. مشتقة ثلاثة ﺱ تربيع تساوي اثنين في ثلاثة ﺱ، وهو ما يساوي بالطبع ستة ﺱ. يمكننا تمثيل ذلك باختصار أكبر بأن نقول إن ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ستة إذا كان ﺱ أقل من سالب واحد، وتساوي ستة ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من سالب واحد. من الجدير بالملاحظة أنه بالرغم من أننا نرى هنا رمز التباين أقل من أو يساوي، فلن نضع أي افتراضات حول قيمة المشتقة عند ﺱ يساوي سالب واحد، لأن هذا هو ما نحاول إيجاده الآن. بالنسبة للمشتقة على جانبي النقطة التي تلتقي عندها الدالتان الفرعيتان، يمكننا متابعة الحل بالتعويض بالقيمة ﺱ يساوي سالب واحد في الدالتين الفرعيتين اللتين أوجدناهما لـ ﺩ شرطة ﺱ.
,العرض التقديمي للدرس
Webلتكن f دالة متصلة وقابلة للاشتقاق على مجال، و C f تمثيلها المبياني أسفله حدد من بين العبارات التالية، العبارة أو العبارات الصحيحة Webإذا كانت قابلة للاشتقاق في و قابلة للاشتقاق في () ، فإن الدالة قابلة للاشتقاق في لازمة إذا كانت f {\displaystyle f} دالة قابلة للاشتقاق على مجال I {\displaystyle I} و g {\displaystyle g} دالة قابلة للاشتقاق على مجال J Webقابلية الدالة للاشتقاق. في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت دالة قابلة للاشتقاق. وسنبحث العلاقة بين قابلية الدالة للاشتقاق واتصالها. عملية إيجاد المشتقة تسمى الاشتقاق Webلتكن f دالة متصلة وقابلة للاشتقاق على مجال، و (C f) C f تمثيلها المبياني أسفله. حدد من بين العبارات التالية، العبارة أو العبارات الصحيحة. (C f) C f مقعر على المجال [0, 1 2] 0, 1 2. (C f) C f مقعر على المجال [1,2] 1 Webإذا كانت f تقبل الاشتقاق عند النقطة x 0 ، فإن الدالة f يجب أن تكون أيضًا مستمرة عند x 0. على وجه الخصوص، يجب أن تكون أي دالة مختلفة مستمرة في كل نقطة من مجالها Webافتح القائمة الرئيسية. الصفحة الرئيسية; عشوائي; دخول; الإعدادات; تبرع ... read more
ومن الجدير بالملاحظة هنا أننا لم نضع حتى الآن أي افتراضات حول المشتقة عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا، حيث إن هذا هو في الحقيقة ما نحاول معرفته الآن. ومن ثم فالمشتقة غير موجودة. ورأينا هذا بالفعل في الركن الذي تناولناه في السؤال الأول. Maroc Primaire Collège Lycée. التمرين 4.
لتكن f دالة متصلة وقابلة للاشتقاق على مجال، و C f تمثيلها المبياني أسفله. في الحالتين التاليتين، لدينا نتوء وخط مماس رأسي. يُعَدُّ هذا مثالًا على نهاية غير موجودة بسبب السلوك المتذبذب للدالة. في هذا الشارح، سوف نستعرض العلاقة بين اتِّصال دالة وقابليتها للاشتقاق، وسوف نتناول الطرق المختلفة التي يمكن أن تكون عندها الدالة غير قابلة للاشتقاق. تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. المحتويات انقل للشريط الجانبي أخف.
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق